泰勒斯的数学成就

2、 泰勒斯的定理

五个欧几里德定理被明确地是泰勒斯发现的，证据是泰勒斯成功地将两个定理应用于解决实际问题。

泰勒斯没有从形式上阐述证据。泰勒斯所做的是提出了某些命题，他似乎可以通过归纳法“证明”：他观察到了自己计算的类似结果：他通过反复实验证明他的命题和定理是正确的，如果他的计算没有产生相反的结果，他可能觉得接受自己的结果作为证据是有道理的。Thalean的“证据”通常是真正的归纳论证。泰勒斯使用的过程是耗尽法。这似乎是Proclus的证据，他宣称泰勒斯“以一般的方式解决了一些问题，而其他问题则更经验性地解决了”。

定义I.17：圆的直径是通过中心绘制的直线，并在两个方向上以圆的周长终止；这样的直线也将圆平分（Proclus，124）。>

命题I.5：在等腰三角形中，底角相等；如果进一步产生相等的直线，则底部下的角度将相等（Proclus，244）。泰勒斯似乎只发现了这个定理的第一部分：我们感谢老泰勒斯发现了这个定理和许多其他定理。据说，他是第一个注意到并断言，在每一等腰中，基部的角度都是相等的，尽管他以某种古老的方式称等角相似（Proclus，250.18-251.2）。

命题I.15：“如果两条直线相互切割，它们使垂直角彼此相等”（Proclus，298.12-13）。这个定理肯定是泰勒斯的功劳。定理的证明可以追溯到欧几里德的元素（Proclus，299.2-5）。

命题I.26：“如果两个三角形的两个角分别等于两个角，一个边等于一个边，也就是说，与等角相邻的那一侧，或者与等角之一相对的那一侧，它们的剩余边等于剩余边，剩余角等于剩余角”（Proclus，347.13-16）尤德默斯在《几何学史》中把定理本身归因于泰勒斯，他说，据报道，他确定海上船只距离的方法表明，他一定使用了这个方法”（Proclus，352.12-15）。泰利斯应用这个定理来确定金字塔的高度。泰勒斯访问吉泽时，大金字塔已经有两千多年的历史了，但它的高度不得而知。提奥奇尼斯记录说，“希罗尼莫斯告诉我们，[泰勒斯]通过他们投下的阴影来测量金字塔的高度，在我们的阴影与我们的长度相同的时刻进行观察”（D.L.I.27）。普林尼（HN，XXXVI.XVII.82）和普鲁塔克（Conv.sept.sap.147）也记录了事件的版本。泰勒斯对这两个三角形的相似性感到警觉，即“相称性”。他引入了比率的概念，并承认其应用是一项普遍原则。泰利斯测量金字塔高度的成就是一个美丽的数学作品。据认为，欧几里德I.26中的一般原则适用于海上船舶问题，将普遍适用于在计算其距离时造成困难的其他远距离物体或陆地特征。

命题III.31：“半圆中的角是直角”。提奥奇尼斯·拉尔蒂乌斯（I.27）记录道：“潘菲拉说，在向埃及人学习几何之后，[泰勒斯]是第一个在圆圈中刻出直角三角形的人，因此他牺牲了一头牛。”。亚里士多德对半圆的角度总是正确的这一事实很感兴趣。在两部作品中，他提出了一个问题：“为什么半圆中的角度总是直角？”（A.Post.94 a27-33；Metaph.1051 a28）。亚里士多德描述了结论成立的必要条件，但没有补充任何有助于解决这个问题的东西。

据证实，泰勒斯是从埃及获得了几何学的基础知识。然而，有证据表明，埃及人的技能是定位、测量和计算。泰利斯的独特能力是具有线条、角度和圆圈的特点。他认识到、注意到并理解了一些他可能通过反复论证“证明”的原则。