霍布斯的“圆化方”

霍布斯设想着他对于求与圆相同面积的正方形的论证会莫定他在所有事物——而不仅仅是数学中的地位。通过解决这一柏拉图、巴比伦人、印度人、阿拉伯人和古代中国人讨论的问题，他希望借自己的政治著作使自己上升到一个无法企及的高度。

托马斯?霍布斯（Thomas Hobbes）出生于英国的一个偏远小镇，是一个失业牧师的儿子（他的父亲在和另一个牧师争吵后，不久就再也没有出现）。尽管他出身卑微，但他却在后来跻身英国的上流社会，与公爵们一同开怀畅饮，并且他靠当时国王的私人资助生活。

后来，在他14岁离开学校的时候，他已经完成了将希腊悲剧诗人欧里庇得斯（Euripides）的《美狄亚》（Medea）从希腊语翻译成拉丁语的工作，这一壮举至今仍然影响着现代的哲学家（或许它的象征意义比它本身还要多）。在他脱离他叔叔的照顾，成为牛津大学的一个学生时，他开始接近贵族的圈子。完成了牛津的学业之后，他受德文郡（Devonshire）伯爵的邀请，周游了整个欧洲，甚至在1636年会见了意大利著名的天文学家伽利略。

伽利略向他描述了月球上的山脉、金星的相位和行星的运动，还有哈维（Harvey）的血液循环系统中的生物发现。这些对传统观点的巨大挑战深深震撼了当时的霍布斯。实际上，霍布斯政治哲学中最显著的特点，就是对各种权威表示出相当精细的义不容辞的尊敬，比如上帝、教皇、高贵的人物或者其他人，这在他的研究方法中显得相当理性。他的观点皆基于清楚地罗列出的依据，他的推理使用的是条理清晰的术语，没有多余的废话或“煽动”，正如他嘲笑其他哲学家所做的工作那样：

他们写了大量的材料，不是疯了就是想要其他人疯掉……这种荒谬是众多疯狂行为的一种。那些用简短清晰的想法描述他们自己世界里的想法的人，尽管他们忍受争议，但他们是清醒的。这就是大多数好与坏的学者的区别。

汤姆?索雷尔（Tom Sorell）在《劳特里奇哲学百科全书》中写道，那时的霍布斯已经完成了欧洲的旅行，他“成功地为白己赢得了名声，尤其是作为将几何研究带人道德与政治领域的人物形象”。但是，如同一个人想要将哲学带人数学中一样，他最后还是失败了。

哲学故事

实际上，由于他对传统哲学的轻视，霍布斯作品的影响力才这么大。霍布斯认为人是由利益驱动的，人们常常产生冲突。如今的现代社会赞同他的这种观点，将它们摆在首位。霍布斯还认为“人类机器”是由自私的力量主导的，并且他对人类会有无私的行为表示怀疑，甚至认为人的无私就是为了自私，是为了他们自己感到快乐。在人类中，主要的运动就是趋向权力。他首先写道：“我提出一个普遍存在的人类倾向，即对权力永恒的和不断的渴求，然后就是死亡。”正因为如此，才需要一个绝对的权力来控制他们。

最后一个原因，人的最终目标（凌驾于他人之上的自由和权力）……就是考虑让他们自己得以保存并得到更满意的生活。就是说要让他们自己脱离战争（也是必要的结局）的悲惨境地，回到人的自然激情，那么就要有一个看得见的权力去约束他们，让他们因害怕被处罚而履行契约……契约没有武力，那就只是一纸空文。

然而，尽管偏向于某一绝对的权威，但霍布斯反对君权神授，并因为这一举动（以及各种原因），与他同一时期的许多人认为，他如果不是一个无神论者，就是一个危险的异教徒。在1666年伦敦大瘟疫之中，6万多伦敦居民死去，紧接着又发生了伦敦大火。在这之后，一个议会委员会成立了，专门用于调查他的作品是否带来了这两场大灾难。调查的结果就是，从此禁止他写关于“人类行为”的著作，并只能通过国外渠道出版。

霍布斯所有的著作，都是法学、宗教狂热和对传统政治观念的攻击的奇特混合体。其中的法学观点是富有创造力和洞察力的，尽管有时其观点在逻辑上显得有些狡猾。比如从单一假定的“基本权利”开始，即人的自我保存上，对基本权利进行推论和衍生。在他最著名的关于社会的著作《利维坦》（The Leviathan）中，霍布斯确定了政治理论、社会伦理和国际法的方向。这是一个伟大的成就。但是或许他最伟大的成就并不为人所意识，那就是托马斯?霍布斯曾设法画出与特定的圆面积相等的正方形（圆化方）。

怎么做

霍布斯把这个3000多年前的数学问题（得到与圆面积相等的正方形）深埋在他的著作《论物体》（De Corpore）中——这本书被普遍认为是三部曲从《人》（The Man）到《居民》（The Citizen）中的一部分。这个曾经困惑着柏拉图的古老谜团，主要问题就在于是否存在这样一个正方形，只用一条直尺和一只圆规，构建出一个与特定的圆相同面积的正方形。这一问题可能最早是在丈量土地时出现的，但在17世纪，“与圆面积相等的正方形”成为了一般人之间比较有趣的一个问题——或许这是最早的数学难题。甚至当时还有对“所有共和国成员”开放的竞赛，在一般礼节性的交谈中也时常出现这个问题。在1686年3月4日的《学者杂志》（Journal des Savants）上，记录了一位年轻的女士拒绝了“一个完美的求婚者”，因为“他无法在给定的时间里对画出与圆面积相等的正方形这一问题提出新的观点”。

在柏拉图和霍布斯看来，在几何学中只有两种传统的工具可以拿来使用。任何被拿来使用的其他工具都被认为是庸俗和犯禁忌的。求出与圆面积相等的正方形，你首先应该以一条直线为半径画一个圆。然后，仍然只用一条直尺和一只圆规去丈量它，以有限的步骤，画出与这个圆面积相同的正方形。经过2000多年的尝试，没有人能够办到这一点。

但是不管你如何看待这一点，这一问题与他的著作没有丝毫关联。霍布斯的解决方案，除了在他看来非常出色外，其实是与《论物体》的其他部分不适合的。更糟的是，霍布斯的朋友不久就指出了其中的错误。而他却舍不得删除那些“证明”，而是重新给了它们一个标题：“错误的假设，导致了错误的求积。”随后他添加了第二条证明，可是同样后来不得不进行改进，第二次的解释相当贫乏，也就是“大概的求积”。第三次补充的“精确”说明在他将书出版后他发现还是错误的。但这时将错误的文字删除已经太晚了，于是他在章节末尾补充道：“读者应当认同的是在丈量圆的过程中的正确性，而不是错误性。”

霍布斯设想着他对于求与圆相同面积的正方形的论证会奠定他在所有事物中的地位。

霍布斯设想着他对于求与圆相同面积的正方形的论证会奠定他在所有事物——而不仅仅是数学中的地位。通过解决这一柏拉图、巴比伦人、印度人、阿拉伯人和古代中国人讨论的问题①，他希望借自己的政治著作使自己上升到一个无法企及的高度。他厌倦了被认为是“马姆斯伯里（Malmeshury）的魔鬼”、“国家里的怪物”、“无神论的信徒”、“物质神的无聊崇拜者”和“人兽性交的皮条客”。但是他忽略了在牛津大学的塞维利安（Savilian）教授，作为霍布斯的读者，他是当时最重要的数学家之一，并最早发明了“无穷大”和“大于”、“小于”的符号，并且在微积分领域中占有重要的地位。还有反对国王的“圆颅党”（Roundhead）成员，一个严谨的长老会（Presbyterian）长老约翰?沃利斯（John Wallis），他在内战期间截获了奥利弗?克伦威尔（011-ve：Cromwell）军队的军事信息。两个人都猛烈地抨击过霍布斯和他的学说，而沃利斯所主张的是将霍布斯的所有数学错误从他的《论物体》中揭示出来。

在1659年1月1日写给荷兰物理学和天文学家克里斯蒂安?惠更斯（Christiaan Huygens）的信中，沃利斯提出了他的计划：

我们的《利维坦》正在严重毁坏着我们的大学……尤其是牧师和神职人员和所有的宗教……好像人如果不理解哲学就无法理解宗教，如果不理解数学，就无法理解哲学。因此，看起来有必要告诉一些数学家，他的那些扭曲的推理过程体现了他对数学的理解是多么的贫乏。就算他的傲慢会将有毒的物质吐向我们，我们也不应该停下脚步。

率先明确想要给予霍布斯打击的，来自一本名为《驳斥霍布斯几何》（Elenchus Geometriae Hobbianae）的小册子（“elenchus”是一种最初在所有柏拉图的对话中苏格拉底使用的方法，有时也称之为“苏格拉底式方法”）。在这种方式的对话中，沃利斯结合了简单的数学技能和嘲讽的字眼，系统地、一步步地通过霍布斯的定义以及方法，依次将他所有的理论推翻。他甚至还拿霍布斯的名字开玩笑，称他是个妖怪（Hohgoblin）。

“妖怪”确实有点儿过分，但是在数学上的侮辱显得更加严重。霍布斯试图将哲学简化为数学。事实上，他声称，推理就是“名称的加减法，除此外什么都不是”,“真理的命题”并“不是与事物的本质有关，而是与事物的名字有关”。更糟的是，他把几何知识置于理解的中心。

瞧瞧这一正确的事实，一个追求真理的人必须记住那些他所用来表示的所使用的词语都代表什么并把它们按条目理清，否则他将发现自己会陷入自己的言语中：好像一只站在带有粘鸟胶的树枝上的鸟，它越挣扎就粘得越紧。因而，在几何学（这是迄今为止上帝赠与人类唯一的科学）上，人们开始严谨对待他们的言语，他们会将那些严谨对待的言语称之为定义，并将其放在他们计算的开始部分。

事实上，霍布斯在其他地方曾提到，几何学“有点像酒”。对于他来讲当然如此。手上没有纸张时，他时常在大腿和床单上绘制几何图形。

历史学家认为霍布斯对几何的热爱开始于他和德文郡伯爵的“欧洲之旅”。他在一个外国绅士的图书馆里，偶然看到了欧几里得的《几何学原理》。欧几里得一直都是他的灵感来源，即使是在风格上面也是如此。随后他毫不犹豫地重写了欧几里得定义，例如，把点定义为更像是运动中的粒子。霍布斯是在伽利略、罗伯特?波义耳（Rohert Boyle）和当时其他人之后，声称机械运动是了解宇宙途径的人。

现在在他眼前，他心爱的几何证明被粉碎了！但是假如霍布斯的父亲不是那个教堂的牧师，他的青年时期将会充满严厉。他用一些小册子作出了回应，首先是《荒谬几何的备注》（Marks of The Ahsurd Grome-try）、《农村语言》（Rural Language）、《苏格兰教会政治》（Scottish Church Politics）和《野蛮人约翰?沃利斯》（Barharisms of John Wal-lis）。这些是在他的6篇相当不吸引人的“对话”之后发表的，这些对话发表于1660年春天，题为《数学研究的检验与修正》（Examinatio et Emendatio Mathemati CaeHodiernae,1660）。

回到《论物体》本身，他在此书的英文版巾添加了一条附录：“给数学教授的六堂课，给几何学教授的一堂课，剩下的几堂课给天文学教授。”这偷取了沃利斯几本书的成果，一本是《逻辑反驳》（Elenchus）,一本是《论圆锥曲线》（De Sectionibus Conicis），另一本是《无穷算数》（Arithematica Infinitorum），其中，《无穷算数》在微积分的发展中极大地影响了牛顿（可能还有莱布尼茨）。事实上，这也探索了“求与圆相同面积的正方形”，因为它设置了一个新的用来测定圆的面积的方法，即用代数符号二。他的公式的值被记录下来，并以他的名字命名——沃利斯公式，直到今天。

然而，用霍布斯形容沃利斯《无穷算数》的话来说：“我的确相信，从世界的起源至今，还没有如此荒谬的几何著作。”

但他最狡猾的是公布了对另一个古老问题的新的解决办法，“加倍立方体”（duplication of the cube）问题，他从法国一位匿名人上那里得到了这个问题，霍布斯相当确信他这一次的解答是正确的，但是，沃利斯回应了他。当塞维利安教授指出霍布斯的错误时，霍布斯以自己的名字公布了一个新证明，但是同时采用了沃利斯的观点，好像这些观点就是霍布斯自己的一样。但很快，沃利斯便公开地驳倒了这个解答。霍布斯随后重新出版了这一系列论文（稍加修改）并加上替自己辩护的文章！

于是，在整个17世纪60年代，就算在他成千上万的同胞都死于大瘟疫的情况下，霍布斯还是只关注于在争辩中胜过“几何学教授”。他摒弃沃利斯的代数解法，称之为“纯粹的无知和废话”，他的书是“坏血病”并“因此充斥着符号的伤疤”，看起来“好像一只母鸡被扔到那儿”。在1666年伦敦大火期间，他出版了《几何原理》（Principles of Geometry）一书，三年后又分别出版了《与圆面积相等的正方形》（Squaring the Circle）、《球体的体积》（Cuhing the Sphere）、《加倍立方体》（Duplication of the Cube）。唉，这些书很快就被沃利斯驳倒了，两个人进人了一个出版驳倒另外一个人的著作的恶性循环，似乎没有尽头。

典型的是沃利斯写的《纠正霍布斯先生》（Due Corrections for Mr.Hobbes）的小册子，或是《学派纪律》（School Discipline），里面集中了霍布斯滥用的技术用语，尤其是在“点”这个词上。恼怒的霍布斯随后就发表了一系列之前提到的《荒谬几何的备注》、《农村语言》、《苏格兰教会政治》和《野蛮人约翰?沃利斯》等进行反驳。随着时间的推移，沃利斯看起来似乎厌倦了这场“战争”，而霍布斯直到死前还在捍卫他的数学著作。甚至在91岁临死前不久，他还在另一本书巾处理“与圆面积相等的正方形”的问题。书的序言里说道：

在我针对这个问题的不同方法给出了足够的关注后，那些几何学教授却并没有理解。于是，我补充了最新的一点。

华而不实的注释

①德国数学家费迪南德?林德曼（Ferdinand Lindemann）在1882年提出了一个令人信服的证据来证明得到“与圆面积相同的正方形”是不可能的，原因是正方形的边长必须是一些数字乘以二，而二被称为超越数，即带有无穷的小数的数。