毕达哥拉斯哲学之数之本原

二、几何学成就

在几何学方面，毕达哥拉斯学派更有超凡的成就。他们证明了泰勒斯提出的"三角形的三内角之和等于两直角"和"内接半圆的角为直角"的论断，并推证了多边形内角和的定理；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作图法；在埃及人已经知道的正四面体、正六面体、正八面体的基础卜，发现了以正五角形构成的止十二面体和以正三角形构成的正二十面体，并证明了正多面体只限于这五种"宇宙体"。最为著名的是他们发现与证明了直角三角形的"勾股定理"，即直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方的和。据第欧根尼·拉尔修记载，毕达哥拉斯曾为发现这条定理举行以牛献祭的大庆。①其实，通过对20世纪在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，发现早在毕达哥拉斯以前1000多年，古代巴比伦人就已知道了这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周牌算经》中，第1章记述了西周开国时期（约前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高："天不可阶而升，地不可将尺寸而度，请问数从安出？"商高回答："析矩以为勾广三，股修四，径隅五，既方之外半其一矩，环而共盘得成三四五。"即我们常说的勾三、股四、弦五。"勾股定理"在中国也被称为"商高定理"。在古希腊这定理被记录在欧几里德的（几何原本）第1卷第47命题中，至今被称为毕达哥拉斯定理，它已被严格的、普遍性的数学所证明。