毕达哥拉斯哲学之数之本原

三、无理数的出现

无理数的发现是毕达哥拉斯学派的重大成就之一，也是数学史上的一个里程碑。整数是在对有限集合的对象进行计算的过程中产生的抽象概念，毕达哥拉斯学派的数学原本是包括所有的裕数和分数的有理数系统，其中的两个任何数及其体现的几何形式都应是可通约的。毕达哥拉斯学派的成员在研究正方形时，发现对角线和边长的比例（万）是一个无限不循环的小数，这就意味着存在不可通约的线段，早期希腊哲学即没有公共的量度单位的线段，直线上也就存在不对应于任何有理数的点。由于毕达哥拉斯学派以整数为基础的关于比例的定义，假定了任何两个同类货是可通约的，所以这种比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上。这一发现意味着他们的比例理论及其推论将不得不被全部推翻。"逻辑上的矛盾"是如此之大，以草有一段时间毕达哥拉斯学派竭力将此事保密，不准对外泄霖。据说，学派的骨干成员希巴索由于泄露了这个秘密而被罚扔入大海。后来将这个新发现的数称为"无理数"。所谓"无理"，实为"不可通约"之义。无理数的发现对毕达哥拉斯学派而言是一次数学危机，也是一次数学思想的革命，它扩大了数域，推进了算术与几何的发展。柏拉图时期的杰出的数学家、天文学家欧多克索（EudoxusofCnido,，约前408一前355）曾是毕达哥拉斯学派的阿尔基塔的学生，他通过给比例下新定义的方法杰出地论述了不可通约最（记录在欧几里德的《几何原本》第5卷中），这个新定义已和狄德金于1872年所作的无理数的现代解释基本一致。无理数的发现也反映出直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此，希腊数学家更注重从"自明的"公理出发，经过演绎推理建立几何学休系，直到欧几里得将其综合成一个较完善的公理化系统。